Một tách cà phê trở thành vòng xuyến qua sự biến dạng hình học bảo toàn các bất biến tô pô. Cả tách cà phê và bánh vòng đều có những tính chất tô pô hoàn toàn giống nhau.

Người ta có phát biểu rằng một nhà tô pô học là người mà không thể phân biệt được sự khác nhau giữa một cái vòng xuyến và một ca đựng bia có quai. Vì cả hai đều là vật rắn và có đúng 1 lỗ hổng. Đôi khi tô pô còn được gọi là hình học về miếng cao su vì trong tô pô thì không có sự phân biệt giữa một đường hình vuông với một đường tròn. Đường hình tròn có thể được kéo co giãn để biến dạng thành hình vuông. Tuy nhiên, đường tròn thì hoàn toàn phân biệt với đường hình số 8, bởi vì không thể nào kéo giãn hình tròn để tạo thành hình số 8 mà không đục xé nó ra thêm một lỗ. Các không gian nghiên cứu trong tô pô gọi là các không gian tô pô. Chúng thay đổi từ dạng quen thuộc như không gian thực n chiều cho đến các cấu trúc vô cùng kì lạ.

Như vậy có thể nói một cách nôm na rằng tô pô là một ngành nghiên cứu về đặc tính của các cấu trúc đặc có tính siêu co giãn, siêu biến dạng nhưng lại không thể bị cắt rời thành nhiều mảnh, không thể bị đâm thủng hay bị dán dính vào nhau.

Mặt Mobius-một mặt có thể đi sang bên kia mà không phải vòng qua mép

.

Tô pô giới thiệu thêm một ngôn ngữ hình học mới - như là các phức đơn hình (simplicial complex), đồng luân (homotopy), đối đồng điều (cohomology), đối ngẫu Poincaré (Poincaré duality), phân thớ (fibration), không gian vec tơ tô pô (topological vector space), bó (sheaf), lớp đặc trưng (characteristic class), hàm Morse (Morse function), đại số đồng điều (homological algebra), dãy phổ (spectral sequence). Nó đã tạo ra một tác động chính đến các lĩnh vực rộng rãi của hình học vi phân (differential geometry), hình học đại số (algebraic geometry), hệ thống động lực học (dynamical system), phương trình đạo hàm riêng (partial differential equation) và hàm nhiều biến phức (several complex variables). "Hình học", theo cách diễn giải của Michael Atiyah và trường phái của ông ngày nay, bao gồm điều kể trên. Một cách nội hàm, bộ môn này có các lĩnh vực tô pô tập điểm (point-set topology) hay tô pô đại cương (general topology) nghiên cứu về các không gian tô pô mà không có thêm các điều kiện giới hạn; trong khi các lĩnh vực khác lại nghiên cứu các không gian tô pô giống như là các đa tạp (manifold). Những lĩnh vực đó bao gồm tô pô đại số (algebraic topology) - phát triển từ tô pô tổ hợp (combinatorial topology), tô pô hình học (geometric topology), tô pô ít chiều (low-dimensional topology) - chẳng hạn lo về lý thuyết nút (knot theory), và tô pô vi phân (differential topology).

Đây là bài viết tổng quan về tô pô. Để có các khái niệm chính xác toán học, xem thêm bài không gian tô pô hoặc các bài viết trong danh sách dưới đây. Bài thuật ngữ tô pô bao gồm các định nghĩa của các thuật ngữ dùng trong tô pô học.